小學五年級奧數題——整除性質及應用
 
 
　　整除有幾個性質。其中一個性質是：“如果數b能整除數a，數c能整除數a，且b和c互質，那么b和c的積也能整除a。”如，2能整除12，3能整除12，且2和3互質，則2×3=6也能整除12。

　　整除的這一性質，應用較為廣泛。請看：

　　例1.只修改970405的某一個數字，就可使修改后的六位數能被225整除，修改后的六位數是_____。（安徽省1997年小學數學競賽題）

　　解：逆向思考：因為225=25×9，且25和9互質，所以，只要修改后的數能分別被25和9整除，這個數就能被225整除。我們來分別考察能被25和9整除的情形。

　　由能被25整除的數的特征（末兩位數能被25整除）知，修改后的六位數的末兩位數可能是25，或75。

　　再據能被9整除的數的特征（各位上的數字之和能被9整除）檢驗，得9＋7+0＋4＋5＝25，25＋2＝27，25＋7=32。

　　故知，修改后的六位數是970425。

　　例2.在3□2□的方框里填入合適的數字，使組成的四位數是能被15整除的數中最大的一個，這個數是多少？（山東省1997年小學生數學競賽初賽試題）

　　解：因為15=3×5，且3和5互質。所以，只需分別考察能被3和5整除的情形。

　　由能被5整除的數的特征知，組成的四位數的個位上是5或0。

　　再據能被3整除的數的特征試算，若個位上是5，則有3＋2＋5=10。可推知，百位上最大可填入8。即組成的四位數是3825；若個位上是0，則有3＋2＋0=5。可推知，百位上最大可填入7。即組成的四位數是3720。

　　故知，這個數是3825。

　　例3.一位采購員買了72只桶，在記賬本上記下這筆賬。由于他不小心，火星落在賬本上把這筆賬的總數燒掉了兩個數字。賬本是這樣寫的：72只桶，共用去□67.9□元（□為被燒掉的數字），請你幫忙把這筆賬補上。應是____元。（德陽市第十屆小學生數學邀請賽試題）。

　　解：72只桶共用去a67.9b元，把它改寫成a679b分后，應能被72整除。72=8×9，8和9互質，若8能整除它，9能整除它，72就一定能整除它。

　　由能被8整除的數的特征（末三位數能被8整除）知，79b能被8整除，則b＝2；由能被9整除的數的特征知，a＋6＋7＋9＋2＝a＋24能被9整除，則a=3。

　　故這筆賬應是367.92元。

　　例4.將1至9九個數字寫在一條紙帶上，如下圖：

　　將它剪成三段，每段上數字聯在一起算一個數，把這三個數相加，使和能被77整除，那么中間一段的數是____。（1998年全國小學數學奧林匹克決賽試題）

　　解：因為77=11×7，且11和7互質，所以，只需分別考察能被11、7整除的情形。

　　由能被11整除的數的特征知，和的奇位數上數字之和與偶位數上數字之和的差能被11整除。

　　由數字1～9的和是45，可推知，和的奇位數上數字之和與偶位數上數字之和的差不可能是0。我們不妨設差為11，則有（45＋11）÷2=28，（45－11）÷2=17。據此列舉、試算，得

　　再據能被7整除的數的特征（末三位數與末三位數以前的數字所組成的數之差能被7整除）檢驗2079是否能被7整除：79-2=77，77能被7整除。

　　故知，中間一段的數是56。

　　例5.有三個連續的自然數，它們的平均數能分別被三個不同的質數整除。要使它們的和最小，這三個自然數分別是多少？（山東省1997年小學生數學競賽決賽試題）

　　解：三個連續自然數的平均數等于這三個自然數中間的一個數。

　　要使這三個自然數的和最小，它們的平均數應最小。要使它們的平均數最小，能分別整除它們平均數的三個不同的質數應盡可能的小。我們不妨設這三個不同的質數是2、3、5。能分別被2、3、5整除的最小數是2×3×5=30。即所求的這三個自然數的平均數是30，也就是這三個自然數中間的一個數是30。

　　故知，這三個自然數分別是29、30、31。

　　練一練：

　　1.如果各位數字都是1的某個整數能被33333整除，那么這個整數中1的個數至少有_____個。（答：15個）

　　2.要使四位數□7□2能被24整除，且最小，方框中各應填上什么數字？（答：1、5）

　　3.修改693205中的一個數字，使修改后的數能被275整除。修改后的數是_____。（答：693275）