你會(huì)解答下面的問(wèn)題嗎？
問(wèn)題1：今天是星期日，再過(guò)15天就是“六·一”兒童節(jié)了，問(wèn)“六·一”兒童節(jié)是星期幾？
這個(gè)問(wèn)題并不難答.因?yàn)椋粋�(gè)星期有7天，而15÷7=2…1，即15＝7×2+1，所以“六·一”兒童節(jié)是星期一。
問(wèn)題2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期幾？
這個(gè)問(wèn)題也難不倒我們.因?yàn)椋?993年有365天，而365=7×52+1，所以1994年的元旦應(yīng)該是星期六。
問(wèn)題1、2的實(shí)質(zhì)是求用7去除某一總的天數(shù)后所得的余數(shù).在日常生活中，時(shí)常要注意兩個(gè)整數(shù)用某一固定的自然數(shù)去除，所得的余數(shù)問(wèn)題.這樣就產(chǎn)生了“同余”的概念.如問(wèn)題1、2中的15與365除以7后，余數(shù)都是1，那么我們就說(shuō)15與365對(duì)于模7同余。
同余定義：若兩個(gè)整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對(duì)于模m同余，用式子表示為：
a≡b（modm）. （*）
上式可讀作：
a同余于b，模m。
同余式（*）意味著（我們假設(shè)a≥b）：
a-b=mk，k是整數(shù)，即m｜（a-b）.
例如：①15≡365（mod7），因?yàn)?65-15=350=7×50。
②56≡20（mod9），因?yàn)?6-20=36＝9×4。
③90≡0（mod10），因?yàn)?0-0＝90=10×9。
由例③我們得到啟發(fā)，a可被m整除，可用同余式表示為：a≡0（modm）。
例如，表示a是一個(gè)偶數(shù)，可以寫
a≡0（mod 2）
表示b是一個(gè)奇數(shù)，可以寫
b≡1（mod 2）
補(bǔ)充定義：若m（a-b），就說(shuō)a、b對(duì)模m不同余，用式子表示是：
ab（modm）
我們書(shū)寫同余式的方式，使我們想起等式，而事實(shí)上，同余式與等式在其性質(zhì)上相似.同余式有如下一些性質(zhì)（其中a、b、c、d是整數(shù)，而m是自然數(shù)）。
性質(zhì)1：a≡a（mod m），（反身性）
這個(gè)性質(zhì)很顯然.因?yàn)閍-a=0=m·0。
性質(zhì)2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m），（對(duì)稱性）。
性質(zhì)3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（傳遞性）。
性質(zhì)4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加減性）。
性質(zhì)5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。
性質(zhì)6：若a≡b（mod m），那么an≡bn（mod m），（其中n為自然數(shù)）。
性質(zhì)7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（記號(hào)（c，m）表示c與m的最大公約數(shù)）。
注意同余式性質(zhì)7的條件（c，m）＝1，否則像普通等式一樣，兩邊約去，就是錯(cuò)的。
例如6≡10（mod 4），而35（mod 4），因?yàn)椋?，4）≠1。
請(qǐng)你自己舉些例子驗(yàn)證上面的性質(zhì)。
同余是研究自然數(shù)的性質(zhì)的基本概念，是可除性的符號(hào)語(yǔ)言。
例1 判定288和214對(duì)于模37是否同余，74與20呢？
解：∵288-214=74=37×2。
∴288≡214（mod37）。
∵74-20=54，而3754，
∴7420（mod37）。
例2 求乘積418×814×1616除以13所得的余數(shù)。
分析 若先求乘積，再求余數(shù)，計(jì)算量太大.利用同余的性質(zhì)可以使“大數(shù)化小”，減少計(jì)算量。
解：∵418≡2（mod13），
814≡8（mod13），1616≡4（mod13），
∴ 根據(jù)同余的性質(zhì)5可得：
418×814×1616≡2×8×4≡64≡12（mod13）。
答：乘積418×814×1616除以13余數(shù)是12。
例3 求14389除以7的余數(shù)。
分析 同余的性質(zhì)能使“大數(shù)化小”，凡求大數(shù)的余數(shù)問(wèn)題首先考慮用同余的性質(zhì)化大為小.這道題先把底數(shù)在同余意義下變小，然后從低次冪入手，重復(fù)平方，找找有什么規(guī)律。
解法1：∵143≡3（mod7）
∴14389≡389（mod 7）
∵89＝64+16+8+1
而32≡2（mod 7），
34≡4（mod7），
38≡16≡2（mod 7），
316≡4（mod 7），
332≡16≡2（mod 7），
364≡4（mod 7）。
∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod 7），
∴14389≡5（mod 7）。
答：14389除以7的余數(shù)是5。
解法2：證得14389≡389（mod 7）后，
36≡32×34≡2×4≡1（mod 7），
∴384≡（36）14≡1（mod 7）。
∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5（mod 7）。
∴14389≡5（mod 7）。
例4 四盞燈如圖所示組成舞臺(tái)彩燈，且每30秒鐘燈的顏色改變一次，第一次上下兩燈互換顏色，第二次左右兩燈互換顏色，第三次又上下兩燈互換顏色，…，這樣一直進(jìn)行下去.請(qǐng)問(wèn)開(kāi)燈1小時(shí)四盞燈的顏色如何排列？
分析 與解答經(jīng)觀察試驗(yàn)我們可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過(guò)4次互換，四盞燈的顏色排列重復(fù)一次，而1小時(shí)=60分鐘=120×30秒，所以這道題實(shí)質(zhì)是求120除以4的余數(shù)，因?yàn)?20≡0（mod 4），所以開(kāi)燈1小時(shí)四盞燈的顏色排列剛好同一開(kāi)始一樣。
十位，…上的數(shù)碼，再設(shè)M=a0＋a1＋…＋an，求證：N≡M（mod 9）。
分析 首先把整數(shù)N改寫成關(guān)于10的冪的形式，然后利用10≡1（mod 9）。
又∵ 1≡1（mod 9），
10≡1（mod 9），
102≡1（mod 9），
…
10n≡1（mod 9），
上面這些同余式兩邊分別同乘以a0、a1、a2、…、an，再相加得：
a0＋a1×10+a2×102+…+an×10n
≡a0＋a1＋a2＋…＋an（mod 9），
即 N≡M（mod 9）.
這道例題證明了十進(jìn)制數(shù)的一個(gè)特有的性質(zhì)：
任何一個(gè)整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。
以后我們求一個(gè)整數(shù)被9除的余數(shù)，只要先計(jì)算這個(gè)整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和，再求這個(gè)和被9除的余數(shù)即可。
例如，求1827496被9除的余數(shù)，只要先求（1+8＋2＋7＋4＋9＋6），再求和被9除的余數(shù)。
再觀察一下上面求和式.我們可以發(fā)現(xiàn)，和不一定要求出.因?yàn)楹褪街?＋8，2+7，9被9除都余0，求余數(shù)時(shí)可不予考慮.這樣只需求4＋6被9除的余數(shù).因此，1827496被9除余數(shù)是1。
有人時(shí)常利用十進(jìn)制數(shù)的這個(gè)特性檢驗(yàn)幾個(gè)數(shù)相加、相減、相乘的結(jié)果對(duì)不對(duì)，這種檢查方法叫：棄九法。
棄九法最經(jīng)常地是用于乘法.我們來(lái)看一個(gè)例子。
用棄九法檢驗(yàn)乘式5483×9117≡49888511是否正確？
因?yàn)?5483≡5＋4＋8＋3≡11≡2（mod 9），
9117≡9＋1＋1＋7≡0（mod 9），
所以 5483×9117≡2×0≡0（mod 9）。
但是 49888511≡4+9＋8+8+8＋5+1+1
≡8（mod9），
所以 5483×9117≠49888511，即乘積不正確。
要注意的是棄九法只能知道原題錯(cuò)誤或有可能正確，但不能保證一定正確。
例如，9875≡9＋8+7+5≡2（mod 9），
4873≡4＋8＋7＋3≡4（mod 9），
32475689≡3+2+4+7＋5+6+8+9
≡8（mod 9），
這時(shí)，9875×4873≡2×4≡32475689（mod 9）。
但觀察個(gè)位數(shù)字立刻可以判定9875×4873≠32475689.因?yàn)槟┪粩?shù)字5和3相乘不可能等于9。
棄九法也可以用來(lái)檢驗(yàn)除法和乘方的結(jié)果。
例6 用棄九法檢驗(yàn)下面的計(jì)算是否正確：
23372458÷7312＝3544。
解：把除式轉(zhuǎn)化為：
3544×7312＝23372458。
∵ 3544≡3＋5＋4＋4≡7（mod 9），
7312≡7＋3＋1＋2≡4（mod 9），
∴ 3544×7312≡7×4≡1（mod 9），
但 23372458≡2＋3＋3＋8≡7（mod 9）。
而 17（mod 9）
∴ 3544×7312≠23372458，
即 23372458÷7312≠3544。
例7 求自然數(shù)2100＋3101＋4102的個(gè)位數(shù)字。
分析 求自然數(shù)的個(gè)位數(shù)字即是求這個(gè)自然數(shù)除以10的余數(shù)問(wèn)題。
解：∵2100≡24×25≡625≡6（mod 10），
3101≡34×25·31≡125·31≡3（mod 10），
4102≡（22）100·42≡6·6≡6（mod 10），
∴ 2100＋3101＋4102≡6＋3＋6≡5（mod 10），
即自然數(shù)2100＋3101＋4102的個(gè)位數(shù)字是5.
