一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，準(zhǔn)備了35支鉛筆作為獎(jiǎng)品發(fā)給獲得一、二、三等獎(jiǎng)的同學(xué)。原打算發(fā)給每個(gè)獲一等獎(jiǎng)的人6支鉛筆，發(fā)給每個(gè)獲二等獎(jiǎng)的人3支鉛筆，發(fā)給每個(gè)獲三等獎(jiǎng)的人2支鉛筆。后來改為發(fā)給每個(gè)獲一等獎(jiǎng)的人13支鉛筆，發(fā)給每個(gè)獲二等獎(jiǎng)的人4支鉛筆，發(fā)給每個(gè)獲三等獎(jiǎng)的人1支鉛筆。那么，在這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中獲得一、二、三等獎(jiǎng)的各有多少人？

分析與解 由題意可以知道，這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲得一、二、三等獎(jiǎng)的人數(shù)總和前后是不變的。盡管改變了發(fā)獎(jiǎng)辦法，但是獎(jiǎng)品總數(shù)還是35支鉛筆。

　　根據(jù)“后來發(fā)給每個(gè)獲一等獎(jiǎng)的人13支鉛筆”可以得出，獲一等獎(jiǎng)的只能是2人或者是1人，要是3人，那么35支鉛筆只發(fā)給獲一等獎(jiǎng)的都不夠。

　　假設(shè)獲一等獎(jiǎng)的是2人，按改變后的發(fā)獎(jiǎng)方案，這2人共得到26支鉛筆，還剩下35-26=9支鉛筆，發(fā)給獲二、三等獎(jiǎng)的同學(xué)。假設(shè)獲二等獎(jiǎng)的也是2人，每人發(fā)4支鉛筆后還剩9-4×2=1支鉛筆，那么這1支鉛筆只能發(fā)給獲三等獎(jiǎng)的1人。

　　用原來的發(fā)獎(jiǎng)方案驗(yàn)算一下，獲一等獎(jiǎng)的有2人，要發(fā)給12支鉛筆，獲二等獎(jiǎng)的有2人，要發(fā)給6支鉛筆，這時(shí)還剩下35—12—6=17支鉛筆。獲三等獎(jiǎng)的有1人，每人要發(fā)2支鉛筆，這樣就會(huì)剩下15支鉛筆。顯然，獲一等獎(jiǎng)的不是2人，獲二等獎(jiǎng)的也不是2人，獲三等獎(jiǎng)的更不是1人了。

　　假設(shè)獲二等獎(jiǎng)的是1人，這樣還剩下9—4=5支鉛筆發(fā)給獲三等獎(jiǎng)的同學(xué)，那么獲三等獎(jiǎng)的就是5人。這樣按原方案發(fā)獎(jiǎng)后還要剩下35—6×2—3—2×5=10支鉛筆。由此可見，獲一等獎(jiǎng)的不可能是2人。

　　既然獲一等獎(jiǎng)的不是2人，那么獲一等獎(jiǎng)的肯定是1人了。按照后來的發(fā)獎(jiǎng)方案發(fā)給獲一等獎(jiǎng)的1人13支鉛筆后，還剩下35-13=22支鉛筆，要發(fā)給獲得二、三等獎(jiǎng)的同學(xué)，這樣可以算出獲二、三等獎(jiǎng)的人數(shù)如下表。