121．采礦之道

　　這個(gè)題目如果是由一群人一起做，看看誰能找到獲利最大的路徑，會(huì)更有趣．設(shè)計(jì)這個(gè)問題的靈感，來自于第418期《數(shù)學(xué)公報(bào)》(Mathematical Gazette)上的一篇文章，以及一家澳大利亞清潔劑制造商的促銷活動(dòng)．在互相競(jìng)爭(zhēng)的情形下，大多數(shù)的人都會(huì)很積極地尋找答案，但到目前為止，還沒有人能不使用電腦就找到最佳解．可能是因?yàn)檫@條獲利高達(dá)七億七千六百萬英磅的最佳路徑：

　　28 74 45 83 57 72 52 73 41 70 44 81 56

　　并沒有經(jīng)過價(jià)值超過八千三百萬英磅利潤(rùn)的那11塊區(qū)域中的任何一塊．使用這種數(shù)字陣列，很容易就可以設(shè)計(jì)出類似但不同的問題．例如，開采最少區(qū)域，同時(shí)獲利至少為八千萬英磅的最短路徑是怎樣的？

　　最后的答案都會(huì)是1089，除非第一次選擇的數(shù)字百位數(shù)與個(gè)位數(shù)相同，如525，則第一次相減就得到零．

　　由于1+6=2+5=3+4=7，同時(shí)每一個(gè)圓與另一個(gè)圓都有成對(duì)的交點(diǎn)，因此只要把和為7的數(shù)字填入成對(duì)的交點(diǎn)中，就可以形成魔術(shù)數(shù)字為14的魔術(shù)圓圈(圖1)．

　　只要先定出數(shù)字N，然后找出和等于N的3組數(shù)字(a，b)、(c，d)、(e，f)，就可以用這3組6個(gè)數(shù)字形成魔術(shù)圓圈．例如，N=15，則3組數(shù)字可以是

　　(5，10)(7，8)(2，13)如此就可以形成如圖2的魔術(shù)圓圈，其中2N=30為魔術(shù)數(shù)字．

　　任兩圓只交于兩點(diǎn)，所以只要將和為13的一組數(shù)字放在這兩個(gè)交點(diǎn)即可．用這種方法很容易就可以找到解答，其中一組解如圖3．

　　1+2+5+12+11+8=39

124．?dāng)?shù)字輪

　　從輪子最下方的那條線可知數(shù)字和為23．因此中心的數(shù)字是23-15-2=6，以此類推．

　　以下為4種解：

　　123-4-5-6-7+8-9=100

　　[1×(2+3)×4×5]+6-7-8+9=100

　　(1×2×3)-(4×5)+(6×7)+(8×9)=100

126．除法的形式

　　在過去沒有計(jì)算器的時(shí)代，做除法通常只會(huì)取4位有效數(shù)字，只有在除以3或11時(shí)，我們能從其較短的數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)形式中體會(huì)到循環(huán)小數(shù)的概念．所以，很多人在發(fā)現(xiàn)事實(shí)上所有的除法只要能一直持續(xù)下去，都可能出現(xiàn)循環(huán)形式時(shí)，常感到難以置信．

　　(1)以7為除數(shù)時(shí)，最后會(huì)形成6個(gè)數(shù)字的循環(huán)序列．

　　要了解為何以64或320為除數(shù)時(shí)會(huì)形成有限位的小數(shù)，請(qǐng)參見下例：

　　如果分母中的數(shù)字不是由2的乘方與5的乘方所組成，就無法轉(zhuǎn)化成10的次方．

　　當(dāng)以某數(shù)，如31為除數(shù)時(shí)，就有30種可能的余數(shù)，即1、2、…30，而且會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，所以要研究商的循環(huán)數(shù)列，其實(shí)就是研究除數(shù)的序列．這個(gè)問題與“同余理論”有關(guān)．

　　(2)以17為除數(shù)的數(shù)字序列為：

　　(3)以19為除數(shù)的數(shù)字序列為：

　　(4)以11為除數(shù)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)下列的兩位數(shù)字的序列：

09 18 27 36 45

　　(5)以13為除數(shù)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)下列2種6位數(shù)字的序列：

　　29和31是23與37之間僅有的質(zhì)數(shù)．

　　127是113之后的下一個(gè)質(zhì)數(shù)．

　　在190與200之間共有4個(gè)質(zhì)數(shù)，即191、193、197與199．

　　(1)28=5+23=11+17

　　(3)下列為前10個(gè)奇數(shù)：

　　3=2+2⁰

　　5=3+2¹

　　7=3+2²=5+2¹

　　9=5+2²=7+2¹

　　11=3+2³=7+2²

　　13=5+2³=11+2¹

　　15=7+2³=11+2²=13+2¹

　　17=13+2²

　　19=3+2⁴=11+2³=17+2¹

　　21=5+2⁴=13+2³=17+2²=19+2¹

　　再試試1271．

　　(4)179，181；191，193；197，199．

　　(5)②將數(shù)字排成如下6行：

　　第二、第四與第六行都是偶數(shù)，所以除了2之外都不是質(zhì)數(shù)．第三行是3的倍數(shù)，所以除了3以外，也都不是質(zhì)數(shù)．余下第一行與第五行，其中的數(shù)字都具有6n+1或6n-1形式．

　　③即5=2²+1²

　　13=3²+2²

　　17=4²+1²

　　在做這一個(gè)與下一個(gè)題目時(shí)，最好能將質(zhì)數(shù)列表．下面就介紹由希臘數(shù)學(xué)家伊拉托塞尼斯(Erotosthenes)所提出的方法．把所有你想考慮進(jìn)去的數(shù)，例如1至50，寫成陣列．

　　現(xiàn)在從2開始，兩個(gè)兩個(gè)一數(shù)，消去第二個(gè)數(shù)，這樣就只剩下奇數(shù)與2．再取2之后第一個(gè)未被消去的數(shù)，即3．

　　再三個(gè)三個(gè)一數(shù)，消去第三個(gè)數(shù)，如6、9、12等．然后由3移到下一個(gè)未被消去的數(shù)，即5，同樣五個(gè)五個(gè)一數(shù)，消去第五個(gè)數(shù)，以此類推．最后剩下的就是質(zhì)數(shù)．

　　(1)121=11²是其反例．

　　(2)當(dāng)n=40，41，44，49，56，65，76時(shí)，原式就無法產(chǎn)生質(zhì)數(shù)．

　　當(dāng)n=40，n²+n+41=40²+40+41

　　　　　　　　　　=40(40+1)+41

　　　　　　　　　　=41²

　　(3)當(dāng)n=80，n²-79n+1601=80²-(79×80)+1601

　　　　　　　　　　　　　=80(80-79)+1601

　　　　　　　　　　　　　=41²

　　這兩個(gè)二次式非常相似．用n-40代替n，代入n²+n+41，即得n²-79n+1601．

　　(4)n=29，2×29²+29=29(58+1)=29×59．

　　(5)前5個(gè)費(fèi)瑪數(shù)為3、5、17、257與65537．

　　最小的回文質(zhì)數(shù)是11，最小的回文平方數(shù)是121．其他只有兩個(gè)回文平方數(shù)小于1000：

　　484=22²與676=26²

　　在100與200之間的回文質(zhì)數(shù)有

　　101 131 151 181

　　對(duì)于任何回文數(shù)，在400與500之間的最后一位數(shù)都是4，所以一定是偶數(shù)；在500與600之間的最后一位數(shù)都是5，所以都含有5的因數(shù)；在600與700之間的最后一位數(shù)都是6，所以都是偶數(shù)．其實(shí)在383與727之間并沒有回文質(zhì)數(shù)．在1000與2000之間所有回文數(shù)的公因數(shù)為11．

　　過剩數(shù)、完全數(shù)與虧損數(shù)

　　(1)過剩數(shù)：1 2 3 4 5 7 8 9 10 1113

　　14 15 16 17 19 21 22 23 25

　　虧損數(shù)：12 18 20 24

　　完全數(shù)：6 28

　　(2)當(dāng)n=5，得2⁵-1=31，故16×31=496為完全數(shù)．

　　496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

　　當(dāng)n=7，得2⁷-1=127，其為質(zhì)數(shù)，故64×127=8128為完全數(shù)．

　　(1)x²-y²=(x+y)(x-y)

　　在此例中，x-y=1，故x²-y²=x+y．

　　(2)如果被平方的數(shù)字為n，則其他兩個(gè)相乘的數(shù)就是n-1與n+1．

　　由于(n-1)(n+1)=n²-1，故乘積恒比n²少1．

　　(3)3的乘方，最后一位數(shù)重復(fù)出現(xiàn)的順序?yàn)?/font>3，9，7，1．