四.排列組合問題
21.有五對夫婦圍成一圈，使每一對夫婦的夫妻二人動相鄰的排法有( )
A 768種 B 32種 C 24種 D 2的10次方中
解：
根據乘法原理，分兩步：
第一步是把5對夫妻看作5個整體，進行排列有5×4×3×2×1=120種不同的排法，但是因為是圍成一個首尾相接的圈，就會產生5個5個重復，因此實際排法只有120÷5=24種。
第二步每一對夫妻之間又可以相互換位置，也就是說每一對夫妻均有2種排法，總共又2×2×2×2×2=32種
綜合兩步，就有24×32=768種。
22. 若把英語單詞hello的字母寫錯了,則可能出現的錯誤共有 ( )
A 119種 B 36種 C 59種 D 48種
解：
5全排列5*4*3*2*1=120
有兩個l所以120/2=60
原來有一種正確的所以60-1=59
五.容斥原理問題
23. 有100種赤貧.其中含鈣的有68種,含鐵的有43種,那么,同時含鈣和鐵的食品種類的最大值和最小值分別是( )
A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
解：根據容斥原理最小值68+43-100=11
最大值就是含鐵的有43種
24.在多元智能大賽的決賽中只有三道題.
已知：(1)某校25名學生參加競賽,每個學生至少解出一道題;
(2)在所有沒有解出第一題的學生中,解出第二題的人數是解出第三題的人數的2倍
(3)只解出第一題的學生比余下的學生中解出第一題的人數多1人;
(4)只解出一道題的學生中,有一半沒有解出第一題,那么只解出第二題的學生人數是( )
A，5 B，6 C，7 D，8
解：根據“每個人至少答出三題中的一道題”可知答題情況分為7類：只答第1題，只答第2題，只答第3題，只答第1、2題，只答第1、3題，只答2、3題，答1、2、3題。
分別設各類的人數為a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由(1)知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①
由(2)知：a2+a23=(a3+ a23)×2……②
由(3)知：a12+a13+a123=a1-1……③
由(4)知：a1=a2+a3……④
再由②得a23=a2-a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥
然后將④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3=26
由于a2、a3均表示人數，可以求出它們的整數解：
當a2=6、5、4、3、2、1時，a3=2、6、10、14、18、22
又根據a23=a2-a3×2……⑤可知：a2>a3
因此，符合條件的只有a2=6，a3=2。
然后可以推出a1=8，a12+a13+a123=7，a23=2，總人數=8+6+2+7+2=25，檢驗所有條件均符。
故只解出第二題的學生人數a2=6人。
25.一次考試共有5道試題。做對第1、2、3、、4、5題的分別占參加考試人數的95%、80%、79%、74%、85%。如果做對三道或三道以上為合格，那么這次考試的合格率至少是多少?
答案：及格率至少為71%。
假設一共有100人考試
100-95=5
100-80=20
100-79=21
100-74=26
100-85=15
5+20+21+26+15=87(表示5題中有1題做錯的最多人數)
87÷3=29(表示5題中有3題做錯的最多人數，即不及格的人數最多為29人)
100-29=71(及格的最少人數，其實都是全對的)
及格率至少為71%
六.抽屜原理、奇偶性問題
26.一只布袋中裝有大小相同但顏色不同的手套，顏色有黑、紅、藍、黃四種，問最少要摸出幾只手套才能保證有3副同色的?
解：可以把四種不同的顏色看成是4個抽屜，把手套看成是元素，要保證有一副同色的，就是1個抽屜里至少有2只手套，根據抽屜原理，最少要摸出5只手套。這時拿出1副同色的后4個抽屜中還剩3只手套。再根據抽屜原理，只要再摸出2只手套，又能保證有一副手套是同色的，以此類推。
把四種顏色看做4個抽屜，要保證有3副同色的，先考慮保證有1副就要摸出5只手套。這時拿出1副同色的后，4個抽屜中還剩下3只手套。根據抽屜原理，只要再摸出2只手套，又能保證有1副是同色的。以此類推，要保證有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9(只)
答：最少要摸出9只手套，才能保證有3副同色的。
27.有四種顏色的積木若干，每人可任取1-2件，至少有幾個人去取，才能保證有3人能取得完全一樣?
答案為21
解：
每人取1件時有4種不同的取法,每人取2件時,有6種不同的取法.
當有11人時,能保證至少有2人取得完全一樣:
當有21人時,才能保證到少有3人取得完全一樣.
28.某盒子內裝50只球，其中10只是紅色，10只是綠色，10只是黃色，10只是藍色，其余是白球和黑球，為了確保取出的球中至少包含有7只同色的球，問：最少必須從袋中取出多少只球?
解：需要分情況討論，因為無法確定其中黑球與白球的個數。
當黑球或白球其中沒有大于或等于7個的，那么就是：
6*4+10+1=35(個)
如果黑球或白球其中有等于7個的，那么就是：
6*5+3+1=34(個)
如果黑球或白球其中有等于8個的，那么就是：
6*5+2+1=33
如果黑球或白球其中有等于9個的，那么就是：
6*5+1+1=32
29.地上有四堆石子，石子數分別是1、9、15、31如果每次從其中的三堆同時各取出1個，然后都放入第四堆中，那么，能否經過若干次操作，使得這四堆石子的個數都相同?(如果能請說明具體操作，不能則要說明理由)
不可能。
因為總數為1+9+15+31=56
56/4=14
14是一個偶數
而原來1、9、15、31都是奇數，取出1個和放入3個也都是奇數，奇數加減若干次奇數后，結果一定還是奇數，不可能得到偶數(14個)。
