三、歸納法

　　當我們要解決一個問題的時候，可以先分析這個問題的幾種簡單的、特殊的情況，從中發現并歸納出一般規律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑。這種從特殊到一般的思維方法稱為歸納法。

例10 將100以內的質數從小到大排成一個數字串，依次完成以下5項工作叫做一次操作：

　　（1）將左邊第一個數碼移到數字串的最右邊；

　　（2）從左到右兩位一節組成若干個兩位數；

　　（3）劃去這些兩位數中的合數；

　　（4）所剩的兩位質數中有相同者，保留左邊的一個，其余劃去；

　　（5）所余的兩位質數保持數碼次序又組成一個新的數字串。

　　問：經過1999次操作，所得的數字串是什么？

解：第1次操作得數字串711131131737；

　　第2次操作得數字串11133173；

　　第3次操作得數字串111731；

　　第4次操作得數字串1173；

　　第5次操作得數字串1731；

　　第6次操作得數字串7311；

　　第7次操作得數字串3117；

　　第8次操作得數字串1173。

　　不難看出，后面以4次為周期循環，1999=4×499+3，所以第1999次操作所得數字串與第7次相同，是3117。

例11 有100張的一摞卡片，玲玲拿著它們，從最上面的一張開始按如下的順序進行操作：把最上面的第一張卡片舍去，把下一張卡片放在這一摞卡片的最下面。再把原來的第三張卡片舍去，把下一張卡片放在最下面。反復這樣做，直到手中只剩下一張卡片，那么剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第幾張？

分析與解：可以從簡單的不失題目性質的問題入手，尋找規律。列表如下：

　　設這一摞卡片的張數為N，觀察上表可知：

　　（1）當N=2^a（a=0，1，2，3，…）時，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的最后一張，即第2^a張；

　　（2）當N=2^a+m（m＜2^a）時，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第2m張。

　　取N=100，因為100=2⁶+36，2×36=72，所以剩下這張卡片是原來那一摞卡片的第72張。

　　說明：此題實質上是著名的約瑟夫斯問題：

　　傳說古代有一批人被蠻族俘虜了，敵人命令他們排成圓圈，編上號碼1，2，3，…然后把1號殺了，把3號殺了，總之每隔一個人殺一個人，最后剩下一個人，這個人就是約瑟夫斯。如果這批俘虜有111人，那么約瑟夫斯的號碼是多少？