例12 要用天平稱出1克、2克、3克……40克這些不同的整數(shù)克重量，至少要用多少個砝碼？這些砝碼的重量分別是多少？

分析與解：一般天平兩邊都可放砝碼，我們從最簡單的情形開始研究。

　　（1）稱重1克，只能用一個1克的砝碼，故1克的一個砝碼是必須的。

　�。�2）稱重2克，有3種方案：

　　①增加一個1克的砝碼；

　�、谟靡粋�2克的砝碼；

　�、塾靡粋�3克的砝碼，稱重時，把一個1克的砝碼放在稱重盤內(nèi)，把3克的砝碼放在砝碼盤內(nèi)。從數(shù)學角度看，就是利用3-1=2。

　�。�3）稱重3克，用上面的②③兩個方案，不用再增加砝碼，因此方案①淘汰。

　�。�4）稱重4克，用上面的方案③，不用再增加砝碼，因此方案②也被淘汰。總之，用1克、3克兩個砝碼就可以稱出（3+1）克以內(nèi)的任意整數(shù)克重。

　　（5）接著思索可以進行一次飛躍，稱重5克時可以利用

　　9-（3+1）=5，

　　即用一個9克重的砝碼放在砝碼盤內(nèi)，1克、3克兩個砝碼放在稱重盤內(nèi)。這樣，可以依次稱到1+3+9=13（克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重。

　　而要稱14克時，按上述規(guī)律增加一個砝碼，其重為

　　14+13=27（克），

　　可以稱到1+3+9+27=40（克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重。

　　總之，砝碼的重量為1，3，3²，3³克時，所用砝碼最少，稱重最大，這也是本題的答案。

　　這個結(jié)論顯然可以推廣，當天平兩端都可放砝碼時，使用1，3，

　　這是使用砝碼最少、稱重最大的砝碼重量設(shè)計方案。